小题（一）

高二下月考一

单选题

1. 4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（）
   A. $12$
   B. $24$
   C. $64$
   D. $81$

2. $\left(\cfrac{1}{x^2} +2x\right)^6$ 的展开式中的常数项为（）
   A. $60$
   B. $120$
   C. $160$
   D. $240$

3. 从 $0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$ 这六个数字中任选 $3$ 个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）
   A. $60$
   B. $84$
   C. $100$
   D. $120$

4. 已知 $A$，$B$ 是随机事件，若 $P(A + B) = \cfrac{2}{3}$，$P(B|\overline{A}) = \cfrac{3}{5}$，则 $P(A) =$ （）
   A. $\cfrac{1}{3}$
   B. $\cfrac{1}{6}$
   C. $\cfrac{1}{2}$
   D. $\cfrac{3}{5}$

5. 已知 $(1 + ax)(x - 2)^5$ 的展开式中 $x^3$ 项的系数为 $-80$，则实数 $a$ 的值为（）
   A. $\cfrac{3}{2}$
   B. $2$
   C. $1$
   D. $-\cfrac{1}{2}$

6. 各地旅游业爆火，青秀山是广西旅游胜地．某大学一个寝室 $6$ 位同学 $A,B,C,D,E,F$ 慕名而来，游览结束后，在西门门前站一排合影留念，要求 $A,B$ 相邻，$C$ 在 $D$ 的左边（$C$ 和 $D$ 不一定相邻），则不同的站法共有（）
   A. $480$ 种
   B. $240$ 种
   C. $120$ 种
   D. $60$ 种

7. 某学校拟派 $5$ 名教师去甲、乙、丙这 $3$ 所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校，每个学校至少要派遣 $1$ 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有（）
   A. $110$ 种
   B. $100$ 种
   C. $90$ 种
   D. $80$ 种

8. 已知有 $5$ 个不同的小球，现将这 $5$ 个球全部放入到标有编号 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为 $11$，则不同的放球方法种数为（）
   A. $150$
   B. $240$
   C. $390$
   D. $1440$

多选题

9. 在一个不透明的盒子中，放有标号分别为 $1,2,3,4$ 的四个大小相同的小球，现从这个盒子中有放回地先后取两个小球，取到球的标号分别为 $x$，$y$，记 $\xi = |x - y|$，则下列说法正确的是（）
   A. 事件 $\xi = 3$ 与“$x = 4$ 且 $y = 1$”是相等事件
   B. 当 $\xi = 2$ 时，$x$，$y$ 的取值有 $4$ 种情况
   C. $P(\xi = 1) = \cfrac{5}{16}$
   D. $P(\xi < 2\mid x\geq y) = \cfrac{7}{10}$

10. 已知 $f(x) = \left(2x - 1\right)^{100} = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \dots +a_{100}x^{100}$，则下列描述正确的是（）
    A. $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots +a_{100} = 0$
    B. $f(x)$ 的展开式中，所有含 $x$ 的偶数次项的二项式系数和为 $2^{99}$
    C. $f(-1)$ 被 $7$ 整除所得的余数是 $4$
    D. $a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} + \dots +100a_{100} = 100$

11. 有 $n(n\in \mathbf{N}^{*},n\geq 10)$ 个编号分别为 $1,2,3, \cdots ,n$ 的盒子，$1$ 号盒子中有 $1$ 个白球和 $2$ 个黑球，其余盒子中均有 $2$ 个白球和 $2$ 个黑球．现从 $1$ 号盒子任取一球放入 $2$ 号盒子；再从 $2$ 号盒子任取一球放入 $3$ 号盒子；$\cdots$；以此类推，记“从 $i$ 号盒子取出的球是白球”为事件 $A_{i}(i = 1,2,3,\dots ,n)$，则（）
    A. $P\left(A_{1}A_{2}\right) = \cfrac{3}{5}$
    B. $P\left(A_{1}\mid A_{2}\right) = \cfrac{3}{7}$
    C. $P\left(\overline{{A_{1}}} +A_{2}\right) = \cfrac{13}{15}$
    D. $P\left(A_{n}\right)< P\left(\overline{{A_{n}}}\right)$

填空题

12. 某批产品分别来自甲，乙，丙三条生产线，甲生产线生产的产品占 $50\%$，次品率为 $4\%$；乙生产线生产的产品占 $30\%$，次品率为 $5\%$；丙生产线生产的产品占 $20\%$，次品率为 $6\%$．现从这批产品中随机抽取一件进行检测，则抽到的产品是次品的概率是__________.

13. $(1 + x + \cfrac{1}{x})^{6}$ 的展开式中常数项为__________.

14. 将五张标有 $1$、$2$、$3$、$4$、$5$ 的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按 $1-3-5-4-2$ 取走卡片的顺序是“和谐序”，按 $1-5-2-3-4$ 取走卡片的顺序不是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这 $5$ 张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为______.

高二下段考

单选题

1. 若 $A_n^2 = 4C_{n-1}^2$，则 $n=$ （）
   A. $4$
   B. $5$
   C. $6$
   D. $7$

2. 某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有 $3$ 个红球和 $2$ 个白球的箱子中随机摸出 $2$ 个球，若摸出的 $2$ 个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（）
   A. $\cfrac{2}{5}$
   B. $\cfrac{1}{2}$
   C. $\cfrac{3}{5}$
   D. $\cfrac{4}{5}$

3. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_5 - S_3 = 6$，则 $S_8 =$ （）
   A. $36$
   B. $32$
   C. $24$
   D. $18$

4. 某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用 $x$（单位：万元）与销售利润 $y$（单位：万元）的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程 $l: \hat{y} = \hat{b}x + \hat{a}$，则下列结论中错误的是（）
   A. $\hat{b} > 0$
   B. $\hat{a} > 0$
   C. 直线 $l$ 必过点 $(4,7)$
   D. 直线 $l$ 必过点 $(5,6)$

广告费用 $x$	3	4	5	8
销售利润 $y$	4	5	7	8

5. 某小组 $5$ 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有 $1$ 人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有（）
   A. $9$ 种
   B. $11$ 种
   C. $44$ 种
   D. $45$ 种

6. 对于事件 $A$，$B$，$P(A) = \cfrac{3}{5}$，$P(B|A) = \cfrac{1}{6}$，$P(A \cup B) = 1$，则 $P(\overline{B}) =$ （）
   A. $\cfrac{7}{10}$
   B. $\cfrac{1}{2}$
   C. $\cfrac{3}{5}$
   D. $\cfrac{2}{5}$

7. 用 $1,2,3,4,5,6$ 组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，$1$ 和 $2$ 相邻的概率是（）
   A. $\cfrac{5}{18}$
   B. $\cfrac{4}{9}$
   C. $\cfrac{5}{9}$
   D. $\cfrac{13}{18}$

8. 端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出 $\beta$ 个粽子，其中含 $\gamma$ 个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为 $\alpha$，其中 $\alpha, \beta \in \mathbf{N}^{*}$，下列说法正确的是（）
   A. 当 $\beta = 2$ 时，随机变量 $\gamma$ 服从两点分布
   B. 随着 $\beta$ 的增大，$E(\alpha)$ 减少，$D(\alpha)$ 增加
   C. 当 $\beta = 2$ 时，随机变量 $\gamma$ 服从二项分布
   D. 随着 $\beta$ 的增大，$E(\alpha)$ 增加，$D(\alpha)$ 减小

多选题

9. 关于 $(2x - 1)^6$ 的展开式，下列说法正确的是（）
   A. 展开式共有 $6$ 项
   B. 展开式的二项式系数之和为 $64$
   C. 展开式各项的系数之和为 $1$
   D. 展开式中第 $4$ 项的二项式系数最大

10. 一个不透明的口袋中有 $8$ 个大小相同的球，其中红球 $5$ 个，白球 $2$ 个，黑球 $1$ 个，则下列选项正确的有（）
    A. 从该口袋中任取 $3$ 个球，设取出的红球个数为 $\xi$，则数学期望 $E(\xi) = \cfrac{15}{8}$
    B. 每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了 $3$ 次，设取出的红球次数为 $\eta$ 则方差 $D(\eta) = \cfrac{45}{64}$
    C. 从该口袋中任取 $3$ 个球，设取出的球的颜色有 $X$ 种，则数学期望 $E(X) = \cfrac{8}{3}$
    D. 每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为 $Y$，则数学期望 $E(Y) = \cfrac{1}{3}$

11. 现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 $A$ 队，丙、丁为 $B$ 队，已知甲、乙传给队友的概率为 $\cfrac{1}{3}$，丙、丁传给队友的概率为 $\cfrac{2}{3}$，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员，现从甲开始传球，设传球次数为 $n$（$n \in \mathbb{N}_{+}$ 且 $n \geq 2$），则（）
    A. 传球 $n$ 次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等
    B. $n = 3$ 时，球在乙手中的概率为 $\cfrac{5}{27}$
    C. 传球 $n$ 次后，球在 $A$ 队成员手中的概率恒为一个常数
    D. 设球在乙手中的概率为 $p_n$，则 $p_n = \cfrac{1}{6}\left[1 + \left(-\cfrac{1}{3}\right)^{n - 1}\right](n > 2)$

填空题

12. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,\sigma^2)$，若 $P(X \leq 0) = 0.2$，则 $P(X \leq 4) =$ __________.

13. 某社区有“驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方式的概率均为 $0.5$.已知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为 $0.7$.若首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为 $0.2$.则居民第二次选择“驿站取件”的概率为__________.

14. 已知椭圆 $C:\cfrac{x^2}{a^2} + \cfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$C$ 上的点 $E$ 与 $C$ 的上、下顶点连线的斜率之积为 $-\cfrac{4}{9}$.过点 $F_1$ 的直线与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点（均异于左、右顶点），若 $2|QF_1| = |PF_1|$ 则 $\cos\angle PF_2Q =$__________.

高二下月考三

单选题

1. 已知集合 $A=\{-4,-2,0,2,4\}$，$B=\{x\mid x^2-2x-3>0\}$，则 $A\cap B=($ ）
   A. $\{-2,0,2\}$
   B. $\{0,2\}$
   C. $\{-4,-2\}$
   D. $\{-4,-2,4\}$

2. 已知 $a,b\in \mathbf{R}$，则“$1<a<b$”是“$a+b>2$”的（ ）
   A. 充分不必要条件
   B. 必要不充分条件
   C. 充要条件
   D. 既不充分也不必要条件

3. 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,2]$，则函数 $g(x)=f(x-1)\cdot \ln(x-2)$ 的定义域为（ ）
   A. $(2,3)$
   B. $(2,3]$
   C. $(1,2]$
   D. $(1,3]$

4. 在 $(2-3x)^4$ 的展开式中，含 $x^2$ 的项的二项式系数为（ ）
   A. $24$
   B. $216$
   C. $6$
   D. $16$

5. 已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N(90,\sigma^2)$，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则 $P(90\leq X\leq 120)=($ ）
   A. $0.2$
   B. $0.3$
   C. $0.4$
   D. $0.8$

6. 已知函数 $f(x)=5x^3+x$，正数 $a,b$ 满足 $f(a)+f(b-1)=0$，则 $\cfrac{1}{a}+\cfrac{4}{b}$ 的最小值为（ ）
   A. $2$
   B. $5$
   C. $8$
   D. $9$

7. 已知函数 $f(x)=\begin{cases}(3a-1)x+5,x\leq 1\\ \log_a x+x+5a,x>1\end{cases}$（$a>0$ 且 $a\neq 1$），若对任意实数 $x_1\neq x_2$，$\cfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>1$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（ ）
   A. $\left(0,\cfrac{2}{3}\right)$
   B. $(1,+\infty)$
   C. $\left(\cfrac{2}{3},1\right)$
   D. $\left[\cfrac{3}{2},+\infty\right)$

8. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，函数 $g(x)=(x-1)f(x)$ 的图象关于点 $(1,0)$ 对称，且满足 $\sum\limits_{i=1}^{26}f(i)=2$，则 $g(-1)=($ ）
   A. $-4$
   B. $-2$
   C. $2$
   D. $4$

多选题

9. 若 $a>b>0$，$c<d<0$，则（ ）
   A. $a-c>b-d$
   B. $ad>bc$
   C. $a^c>b^c$
   D. $\cfrac{d-1}{c-1}>\cfrac{d}{c}$

10. 已知随机事件 $A$，$B$，$C$ 满足 $P(A)=\cfrac{1}{3}$，$P(B)=\cfrac{2}{5}$，$P(C)=\cfrac{1}{3}$，$P(A\cup B)=\cfrac{3}{5}$，则下列说法正确的是（ ）
    A. 事件 $A$，$B$ 相互独立
    B. $P(A\mid B)=P(B\mid A)$
    C. 若 $P(AC)=P(\overline{A}C)$，则 $P(A\mid C)=\cfrac{1}{2}$
    D. 若 $P(C\mid A)+P(C\mid \overline{A})=\cfrac{2}{3}$，则 $P(AC)=\cfrac{1}{9}$

11. 设函数 $f(x)=\ln\cfrac{1+x}{1-x}$，则（ ）
    A. $f(x)$ 是奇函数
    B. $f(x)$ 是增函数
    C. $f(\sin 1)+f(\log_2 3-2)<0$
    D. 曲线 $y=2\sin x$ 与曲线 $y=f(x)$ 有且仅有1个交点

填空题

12. 已知定义域为 $\mathbf{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(2x-1)=x^2+x$，则 $f(x)$ 的解析式为__________.

13. 两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有__________种.

14. 已知焦点为 $F$ 的抛物线 $C:y^2=4x$ 上有两点 $A$ 和 $B$，且 $\angle AFB=150^\circ$，$E$ 为 $A$ 和 $B$ 的中点，过点 $E$ 作 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $H$，则 $\cfrac{|AB|^2}{|EH|^2}$ 的最小值为__________.

高二下期末考

单选题

1. 集合 $M=\left\{y \mid y=\left(\cfrac{1}{2}\right)^x\right\}$，$N=\left\{x \mid x^2-2x-3 \leqslant 0\right\}$，则 $M \cap N=$（ ）
   A. $(3,+\infty)$
   B. $[3,+\infty)$
   C. $[0,3]$
   D. $(0,3]$

2. 已知随机事件 $A$ 与 $B$ 满足 $P(A)=\cfrac{1}{3}$，$P(B)=\cfrac{1}{4}$，且 $P(A \cup B)=\cfrac{1}{2}$，则 $P(B \mid A)=$（ ）
   A. $\cfrac{1}{12}$
   B. $\cfrac{1}{6}$
   C. $\cfrac{1}{4}$
   D. $\cfrac{1}{3}$

3. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(n,p)$，则“$p=\cfrac{1}{4}$”是“方差 $D(X)=\cfrac{3}{16}n$”的（ ）
   A. 充分不必要条件
   B. 必要不充分条件
   C. 充要条件
   D. 既不充分也不必要条件

4. 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)=x^2+2^x+m$（$m$ 为常数），则 $f(-2)=$（ ）
   A. $4$
   B. $7$
   C. $-7$
   D. $8$

5. 若函数 $f(x)=(a-2)\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{-x}\right)+|x|+b$ 有奇数个零点，则 $4a^2+b^2$ 的最小值是（ ）
   A. $6$
   B. $8$
   C. $16$
   D. $18$

6. 某晚会由 $4$ 个歌舞节目和 $2$ 个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出且前 $3$ 个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种。
   A. $216$
   B. $360$
   C. $432$
   D. $672$

7. 若直线 $l$ 同时是曲线 $f(x)=a\mathrm{e}^x(a>1)$ 和曲线 $g(x)=\mathrm{e}^x+a$ 的切线，则 $l$ 斜率的最小值为（ ）
   A. $1$
   B. $\mathrm{e}$
   C. $\mathrm{e}^2$
   D. $2\mathrm{e}$

8. 已知函数 $f(x)=\begin{cases} \cfrac{1}{3}x^2+\cfrac{4}{3}x+1, x \leqslant 0 \\ |\log_2 x|, x>0 \end{cases}$，若 $f(x)=m$ 有四个零点 $x_1, x_2, x_3, x_4$，且满足 $x_1<x_2<x_3<x_4$，则 $x_1-x_2+x_3x_4+m$ 的取值范围是（ ）
   A. $(-4,-2]$
   B. $\left[\cfrac{11}{3},-2\right)$
   C. $[-2,-1)$
   D. $\left(-\cfrac{5}{3},0\right)$

多选题

9. 下列说法正确的有（ ）
   A. 一组数据 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 的第 $30$ 百分位数为 $3$
   B. 若随机变量 $X \sim B\left(4,\cfrac{1}{2}\right)$，则 $E(X)=2$
   C. 若事件 $A, B$ 满足 $P(A)+P(B)=1$，则 $A$ 与 $B$ 是对立事件
   D. 若事件 $A, B$ 满足 $P(A|B)=P(A|\overline{B})$，则事件 $A, B$ 相互独立

10. 已知 $\left(x+\cfrac{2}{x}\right)^n$ 的展开式中第 $3$ 项的二项式系数为 $21$，则下列说法正确的是（ ）
    A. $n=7$
    B. 展开式中存在常数项
    C. 展开式的所有项的系数和为 $128$
    D. $27^n-6$ 能被 $7$ 整除

11. 已知函数 $f(x)$，$g(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，且 $g(2-x)+f(x)=1$，$g(x)-f(x-1)=-1$，若 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，则（ ）
    A. $f(2026-x)+f(x-2025)=2$
    B. $f\left(\cfrac{5}{2}\right)+g\left(\cfrac{5}{2}\right)=1$
    C. $g(x)$ 是奇函数
    D. $\sum\limits_{k=1}^{2026} f(k)=2026$

填空题

12. 曲线 $y=x^2+\cfrac{1}{x}$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为__________.

13. 已知函数 $f(x)=|\ln x|-ax$，若 $f(x)>0$ 有且只有一个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为__________.

14. 一个袋子中装有形状大小完全相同的 $6$ 个球，其中有 $2$ 个红球，$4$ 个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记 $X$ 为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$__________.

答案

高二下月考一

DDCBA CBC；BD ABC BCD

$0.047$；$141$；$\cfrac7{30}$

高二下段考

AACCD BCB；BCD；ABD；BCD

$\cfrac45$，$0.45$；$\cfrac45$

高二下月考三

DABCB DDD；AD；ACD；ABD

$f(x)=\cfrac14x^2+x+\cfrac34$；$30$；$2+\sqrt3$

高二下期考

DCACB CBC；ABD；AD；ABD

$y=x+1$；$\left[\cfrac{\ln2}2,\cfrac{\ln3}3\right)$；$\cfrac{64}{15}$