对合模型×齐次化构造

“对合（Involution）”在数学中的意思是“一个映射做两次就回到原处”，即 $f[f(x)]=x$。此时 $f$ 就叫对合映射。不过，高考圆锥曲线语境下的对合模型上面的定义没什么关系。

本文介绍的对合模型同样属于射影几何的内容，且与极点极线有密切的关系。不过我在写这篇笔记时，认为要捋清楚两者的联系太困难了，作为高中生，我们就把它当作一个黑盒来使用就好。

“斜率关系”

如果两直线满足以下任意一个等式，则称这两条直线有“斜率关系”：

• 斜率之和为定值：$k_1+k_2=\gamma$；
• 斜率之积为定值：$k_1k_2=\gamma$；
• 斜率倒数之和为定值：$\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}=\gamma$；
• 对合方程：$\alpha k_1k_2+\beta(k_1+k_2)+\gamma = 0$。

如果题目中出现了这些斜率关系，可以考虑对合模型或齐次化构造。

对合模型

对于圆锥曲线上 $A,M,N$ 三点，有如下定理（aka 手电筒模型）：

$$\begin{cases} AM,AN\text{满足斜率关系},\\ A\text{为定点}, \end{cases} \Rightarrow MN\text{过定点}.$$

实际上，这三个条件知二推一。此外还有：

$$\begin{cases} AM,AN\text{满足斜率关系},\\ MN\text{过定点}, \end{cases} \Rightarrow A\text{为定点}.$$ $$\begin{cases} A\text{为定点},\\ MN\text{过定点}, \end{cases} \Rightarrow AM,AN\text{满足斜率关系}.$$

根据这些定理，我们可以快速地判断很多定点/定直线问题。

一般思路：先猜后证

如果判定了某题属于对合模型，则可以遵循以下思路解题：

• 找特殊情况，蒙出答案。
• 列出韦达定理，翻译题目条件，假意证明几步。不出意外的话，最后会得到一坨恶心的式子。在这一步停下来，不要硬刚。
• 根据答案构造出因式分解之式，直接写在“整理得”后面。
• 完成证明，表演成功。

我们结合一道例题来看：

例 1

如图，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{6}=1$，$A(2,2)$，过 $A$ 作斜率之和为 1 的两条直线与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，直线 $MN$ 是否过定点？若是，求出此定点；若否，请说明理由。

根据上面的理论， $MN$ 显然是过定点的。接下来，我们首先要蒙出答案。蒙答案就要找特殊情况。除了尝试带入 $0,1,-1$ 这种数字算交点以外，还可以找以下特例：

• $k_1+k_2=\gamma$ 形的，找 $k_1=k_2=\dfrac12\gamma,\,k_1=k_2=\infty$。求出两种情况对应交点（异于 $A$）的切线，联立即可。
• $k_1k_2=\gamma$ 形的，找 $k_1=k_2=\sqrt\gamma,\,\begin{cases}k_1=0,\\k_2=\infty.\end{cases}$ 同上，求出两切线的交点即可。

关于如何快速求出切线，请见半代换。

如此我们便不费吹灰之力地得到了定点 $P(-2,-4)$。接下来，我们这样书写过程：

解

当直线 $MN$ 斜率存在时，设 $MN:y=kx+m,M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$。

联立 $\begin{cases}y=kx+m,\\\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}{6}=1,\end{cases}$，

得

$$(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-12=0.$$

则

$$x_1+x_2=-\dfrac{4km}{2k^2+1},x_1x_2=\dfrac{2m^2-12}{2k^2+1}.$$

由 $k_{AM}+k_{AN}=1$，得 $\dfrac{y_1-2}{x_1-2}+\dfrac{y_2-2}{x_2-2}=1$。

即

$$\dfrac{kx_1+m-2}{x_1-2}+\dfrac{kx_2+m-2}{x_2-2}=1.$$

整理得

$$\boxed?$$

接下来就要构造因式分解的式子了。我们已经知道，直线 $MN$ 过定点 $P(-2,-4)$，不过 $A(2,2)$。则我们将这两个点代入 $MN:y=kx+m$，可得两个方程。我们整理成等号右边为 $0$ 的形式，就得到了因式分解的式子：

续解

整理得

$$(2k+m-2)(2k-m-4)=0.$$

由 $MN$ 不过点 $A$，得 $2k+m-2\not=0$。

故 $2k-m-4=0$，即 $m=2k-4$，则

$$MN:y=kx+2k-4,$$$$y=k(x+2)-4.$$

故直线 $MN$ 过定点 $(-2,-4)$。

当 $MN$ 斜率不存在时……（下略）

就这样，从前往后写几步，从后往前反推几步，便完成了过程的书写。

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接下来我们看一道倒数和为定值的题目。

例 2

如图，已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$，$P(-1,-1)$，过 $P$ 的直线 $l$ 交椭圆 C 于 $M,N$ 两点，$T$ 为 $y$ 轴上的一点，设直线 $MT,NT$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，若 $\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ 为定值，求点 $T$ 的坐标。

这道题怎么蒙答案呢？由于 $l$ 是一条割线，我们不妨观察一下其称为切线的极限情况，如下图。$l$ 为切线时，$M,N$ 重合，$k_1=k_2$。由于两种情况下的 $\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ 都要相等，容知两种情况下的 $k_1,k_2$ 都相等。所以，这时的 $MT$ 实际上就是 $P$ 点的切点弦。我们用半代换求出这条弦的方程，令 $y=0$ 即可求出 $T(0,-1)$。

不过，这道题似乎没办法构造最终的因式分解式子了，只能硬算。

对合的复合

未完待续……

齐次化构造

当题目中出现了如 $k_1+k_2,k_1+k_2,\dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}$ 这类式子时，往往可以使用齐次化构造，直接求出斜率关系而不用求交点坐标，减小计算量。

下面用 例 1 来演示齐次化构造的技巧。

解

当直线 $MN$ 斜率存在时，因为 $MN$ 不过 $A$，设 $MN: m(x-2)+n(y-2)=1$。

椭圆 $C$ 方程可整理为

$$[(x-2)+2]^2+2[(y-2)+2]^2-12=0,$$

整理得

$$(x-2)^2+2(y-2)^2+4(x-2)+8(y-2)=0,$$

（齐次化构造）即

$$(x-2)^2+2(y-2)^2+[4(x-2)+8(y-2)][m(x-2)+n(y-2)]=0,$$$$(4m+1)(x-2)^2+(8n+2)(y-2)^2+(8m+4n)(x-2)(y-2)=0,$$$$(8n+2)\left(\dfrac{y-2}{x-2}\right)^2+(8m+4n)\left(\dfrac{y-2}{x-2}\right)+4m+1=0.$$

设过 $A$ 的直线斜率为 $k$，则

$$(8n+2)k^2+(8m+4n)k+4m+1=0.$$

则

$$k_1+k_2=-\dfrac{4m+2n}{4n+1}=1.$$

整理得 $-4m-6n=1$。与 $MN: m(x-2)+n(y-2)=1$ 对比，可知

$$\begin{cases} x-2=-4,\\ y-2=-6. \end{cases}$$

解得 $\begin{cases}x=-2,\\y=-4.\end{cases}$ 则 $MN$ 恒过定点 $(-2,-4)$。

总结一下要点步骤：

1. 因为两条直线都过 $A$，所以第一步列方程的时候关于 $A$ 的坐标来列；
2. 接下来对曲线方程变形，整理；
3. 利用第一步得到的方程，对整理后的曲线方程进行齐次化构造；
4. 合并同类项，两边同除，就能得到关于斜率的方程；
5. 利用韦达定理表述题目约束条件，即得 $m,n$ 间关系；
6. 利用对比法求出定点。

相比前面先猜后证的方法，齐次化构造不需要蒙答案，也不需要表演，我觉得比较自然。在使用齐次化构造之前，要注意判断题设的条件能不能用关于斜率的韦达表示，不然计算量一样很大。