极点极线

极点极线属于射影几何的内容，其核心是“配极”理论，即点 $\leftrightarrow$ 极线、直线 $\leftrightarrow$ 极点的关系。

笔者在学习极点极线时一直似懂非懂的，这篇笔记将试图捋清楚这些知识。比起教辅书或者一些机构资料，可能更啰嗦一点。

在这个小节里可以查看极点极线的常见模型。

引入

命题

在射影平面中，一条非退化二次曲线会诱导一个“配极变换”：每个点对应一条直线，每条直线也对应一个点。这个点叫对应直线的极点，这条线叫对应点的极线。

椭圆、双曲线、抛物线都是“非退化二次曲线”。对于一个圆锥曲线而言，射影平面上每个点都可以找到唯一对应的线与之对应，反之亦然，这是一种“点 $\leftrightarrow$ 直线”的双射。给点可以找直线，给直线可以找点，记住这种感觉。

与高考的关系

在高考圆锥曲线的语境下，“极点极线”是一类有一定特征的题目，虽然这个特征与上面的定义没什么关系。我们在高中主要使用的只是极点极线的一些结论，不研究它们是怎么来的。

射影平面

值得注意的是，极点极线是在“射影平面”的背景下提出的，但我们在高中接触到的都是欧氏平面。所以，我们先简单补充一下欧氏平面和射影平面的区别，作为前置知识。

如果好奇为什么我不说“背景是射影几何”：因为射影平面只是射影几何的冰山一角，在高中我们研究的方式是“欧式几何框架下的射影平面”。我们并没有真正踏足射影几何。

平行相交与无穷远点

在欧氏平面内，平行线互不相交；在射影平面内，我们认为平行线相交于无穷远点。这样的假设有利于简化问题，统一某些结论。其定义表述如下：

定义

在射影平面内，规定：

• 每组平行线交于同一个无穷远点，其实际上表示方向；
• 所有无穷远点构成无穷远直线；
• 无穷远点到任意非无穷远点的距离是无穷远。

比如平面内两直线 $l_1\parallel l_2$，它们的交点可记为 $L_\infty$¹。请注意，一组平行线经过的无穷远点只有一个，而不是两个（这很反直觉，因为它们向两个方向延伸）。我们可以这样理解：一个 $L_\infty$ 对应一个斜率。

由定义可以推出两个常用结论：无穷远点 $T_\infty$ 和任意两点 $A,B$，则有 $\dfrac{|AT_\infty|}{|BT_\infty|}=1,\;\dfrac1{|AT_\infty|}=\dfrac1{|BT_\infty|}=0$。

半球投影²

为了形象一点，我们可以把平面上的点投影到半球上，如下图所示。具体做法是：取 $P(x,y,0)$、球 $O: x^2+y^2+(z-1)^2=1$，连接 $OP$，交球面于 $Q$，则 $P$ 对应的投影点就是 $Q$。

这时直线变成了半圆弧，我们可以清晰地看到两条平行线的投影是有交点的，交点就代表无穷远点。图中可以看到两端圆弧的交点有一近一远两个，但它们其实是同一个无穷远点。这个反直觉的现象（或者说规定）叫作“对径点粘合”，我们要习惯。所有无穷远点在半球上的投影构成了一个圆，这个圆就是上面说的无穷远直线。

如果反向延长 $PO$ 交球面于 $Q'$，即平面上一点对应两个投影点，就是球心投影。球心投影的好处有：所有直线都是大圆、所有圆锥曲线的投影的形状都相同。这是美丽的统一，然而球心投影下每对对径点都会发生粘合，会加重认知负担。所以本文采用半球投影。

平行线的半球投影

趁热打铁，我们再来看一个反直觉的结论：抛物线 $y=x^2$ 与直线 $x=0$ 交于无穷远点。也就是说抛物线和它的对称轴有两个交点，一个在顶点，一个在无穷远处。我们同样在半球投影下看看是什么情况：

抛物线的半球投影

我们发现，抛物线在半球上的投影居然是一条封闭的曲线！我们可以这样理解：那些在欧氏平面上的无穷远被半球投影“拉”回来了，因而都成为了封闭图形。

对于双曲线，它与两条渐近线分别相交于两个无穷远点。我们也看看它的半球投影：

双曲线的一支的半球投影

需要说明的是，半球投影仅用于让我们形象地理解射影平面，并不适合拿来计算。

圆锥曲线之间的转换

提示

大多数圆锥曲线模型在椭圆内更直观。一般来说，我们都会用椭圆来记忆通用于各类圆锥曲线的结论。下文也将以椭圆为例介绍。

我们借助射影变换自由地改变圆锥曲线的种类。其中，我们最感兴趣的就是把双曲线、抛物线变换为椭圆。

认识射影变换

假设有射影平面 $A$，取平面外一点 $O$，连接直线 $OP$，就得到了一条“光线”。这时取不过 $O$ 的射影平面 $B$，$OP\cap B=P'$，则这样从 $P\to P'$ 的变换就叫射影变换³。

定理

在射影变换中，有以下不变量：

• 直线、曲线、点之间的接触关系（相交、相切、交点个数）（不保证平行、相离）；
• 点列、线束的交比（后面会介绍）

此外，变换后直线仍是直线、圆锥曲线仍是圆锥曲线（不保证具体类型）。

双曲线到椭圆

与前文半球投影类似地，取 $P(x,y,0)$、投影中心 $O(0,0,1)$，取与双曲线实轴垂直且不过 $O$ 的平面，然后取直线 $OP$ 与该平面的交点 $Q$，就完成了变换，如下图所示。实际上，与双曲线渐近线平行是分界情况，此时的投影是抛物线；分界的两边，一边是椭圆，一边是双曲线。

图中的球实际上没什么用，保留它的原因是我认为这样会比较直观（？）

把双曲线变换成椭圆；椭圆中心的连线是 GeoGebra 的 bug，请忽略

从上图中不难看出，双曲线的一支与无穷远直线围成的图形被“折”成了半个椭圆，两支拼在一起就是完整的椭圆。这就是说，如果一个点位于双曲线的一支与无穷远直线围成的图形里面，变换后它将位于椭圆内部。如果投影到平面 $x=-1$ 并平移，则可以推导出变换法则：

命题

对于双曲线或椭圆 $Ax^2+By^2=1$，经过下面的映射后，其类型相互转换（双曲线转换为椭圆，椭圆转换为双曲线）：

$$x'=\dfrac yx,\;y'=\dfrac1x.$$

其中 $(x',y')$ 就是 $(x,y)$ 映射后的点。要进行此映射，可以这样替换：

$$x=\dfrac1{y'},\;y=\dfrac{x'}{y'}.$$

据此就可以完成从双曲线到椭圆的变换：

$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\to\dfrac{(x')^2}{b^2/a^2}+\dfrac{(y')^2}{1/a^2}=1.$$

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根据前面对射影变换的介绍可知，变换后线与点的接触关系不变、交比不变。除此之外，我们还要补充以下几点性质：

• $x$ 轴变到 $y'$ 轴，$y$ 轴变到无穷远直线，原点 $(0,0)$ 变到平行 $y'$ 轴方向的无穷远点；
• 过原点的直线变到平行于 $y'$ 轴的直线；
• 平行于 $x$ 轴的直线变到过原点 $(0,0)$ 的直线。

抛物线到椭圆

用类似的方法，也可以将抛物线投影成椭圆。我们需要取平面 $x-z=m\,(m\not=-1)$。如果投影到平面 $x-z=0$，然后“拍扁”到平面 $z=0$，则可以推导出变换法则：

命题

对于抛物线 $y^2=2px$，经过下面的变换后，其变为椭圆：

$$x'=\dfrac{x}{1+x},\;y'=\dfrac{y}{1+x}.$$

要进行此映射，可以这样替换：

$$x=\frac{x'}{1-x'},\;y=\frac{y'}{1-x'}.$$

据此可以完成从抛物线到椭圆的变换：

$$y^2=2px\to(y')^2=2px'(1-x').$$

整理得

$$\dfrac{(y')^2}{p/2}+\dfrac{(x'-\dfrac12)^2}{1/4}=1.$$

不过，这一变换的意义相比于双曲线稍逊一些，因为抛物线的形状已经很像椭圆了。

把抛物线变换成椭圆

初识极点极线

我们先来讲如何在平面中找到极点、极线之间的对应关系，即“配极”，后面再讲极线的性质和用处。

实际上，下面的切点弦和完全四点形⁴模型算是极点极线的特征模型，换言之看到它们就要想到极点极线的内容了。

半代换

定义

假设有圆锥曲线

$$Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0,$$

则点 $(x_0,y_0)$ 关于这个圆锥曲线的极线为

$$Axx_0+Byy_0+C\frac{xy_0+x_0y}{2}+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+F=0.$$

也就是说，我们只要对圆锥曲线中含有变量的项执行“替换”即可。这样的替换被形象地称作“半代换”。实战中，大多时候方程中只有 $x^2,y^2$ 这两个二次项，因而记住 $x^2\to xx_0,\,y^2\to yy_0$ 即可应付大多数情况。

如果点在圆锥曲线上，则得到的直线方程就是过该点的切线。所以半代换也是一种很方便的切线求法。

切点弦

定义

若 $A$ 为圆锥曲线外一点，过 $A$ 作圆锥曲线的两条切线，分别切于 $B,C$，则直线 $BC$ 为 $A$ 关于这个圆锥曲线的极线。这时的 $BC$ 又叫切点弦。

切点弦模型

如果 $A$ 在椭圆内部，极线依然存在，是“虚切点弦”。

完全四点形⁴&自极三角形

定义

若 $A,B,C,D$ 为平面内不共线的四点，将其两两连接并延长，得到另外三个交点 $E,F,G$，此时的图形称为完全四点形。若这四点在圆锥曲线上，则称 $\triangle EFG$ 为自极三角形，其任意一条边就是所对顶点的极线。

完全四点形 & 自极三角形模型

如上图，我们取椭圆上的四点 $A,B,C,D$，两两连接，就得到了完全四点形。此时 $EF$ 是顶点 $G$ 的极线。如果已知一个点，想找它的极线，可以过这一点构造两条割线，然后套用此模型即可。

如果 $AD\parallel BC$ 会怎样呢？这时它们相交于 $E_\infty$，我们照样“连接”$E_\infty G$，得到的仍然是 $F$ 的极线。此时的 $E_\infty G$ 即过点 $G$、与 $AD,BC$ 平行的直线。另外，如果 $A,B$ 重合，$C,D$ 重合，就变成了切点弦模型。

基本应用

先补充一个重要的定理：

定理

La Hire 定理

关于圆锥曲线 $C$，如果点 $P$ 在点 $Q$ 的极线上，那么点 $Q$ 也在点 $P$ 的极线上。

这时称 $P,Q$ 关于 $C$ 调和共轭⁵，过 $P$ 的直线与过 $Q$ 的直线关于 $C$ 调和共轭。

推论

关于圆锥曲线 $C$，点 $P$ 的所有共轭点都在 $P$ 的极线上；直线 $l$ 的共轭直线都经过 $l$ 的极点。

推论

自极三角形的三个顶点两两调和共轭，三条边两两调和共轭。

我们将在后文中介绍调和共轭的定义。

轨迹 / 定点 / 定直线问题

我们以上图中的完全四点形模型为例，$G,F$ 关于椭圆调和共轭，这时固定 $G$，任意移动 $A,B,C,D$，则 $F$ 始终在定直线上运动，这条直线就是 $G$ 的极线。

反之，如果固定直线 $EF$ 不动，任取其上一点作关于圆锥曲线的极线，则极线恒过定点，定点即 $EF$ 的极点。

特殊的极点极线

• 焦点是对应准线的极点，准线是对应焦点的极线。例如椭圆的右焦点就是右准线的极点。

• 无穷远直线的极点是圆锥曲线的中心。对于椭圆、双曲线来说，其中心就是几何中心；对于抛物线来说，其中心是平行于对称轴方向的无穷远点。实际上，这一事实应表述如下：

定义

中心的射影定义

关于圆锥曲线 $C$，无穷远直线的极点为 $C$ 的中心。

顺势再补充一个重要的定义（推论更常用）：

定义

焦点的射影定义

关于圆锥曲线 $C$，若两直线调和共轭且垂直，则它们的交点为 $C$ 的焦点。

推论

关于圆锥曲线 $C$，若两直线调和共轭且过其焦点，则它们互相垂直。

调和点列

调和点列和极点极线有深刻的关系。一方面，我们可以用调和点列的结论解决线段比值的问题；另一方面，还可以借助它找到某些直线的斜率关系。

定义

• 同一直线上所有点的集合称为点列；
• 过同一点的所有直线的集合称为线束；
• $A,B,C,D$ 四点的交比为 $(A,B;C,D)=\dfrac{AC}{BC}:\dfrac{AD}{BD}$，式中为有向线段。

定义

若平面内共线的四点 $A,B,C,D$ 满足 $(A,B;C,D)=-1$，则称这四点构成调和点列，称 $A,B$ 为一组共轭点，它们之间调和共轭；$C,D$ 同理。

$(A,B;C,D)=-1$ 和 $(B,A;C,D)=-1$、$(C,D;A,B)=-1$ 都是等价的。也就是说，我们只要找准共轭关系即可。让我们再看看上图中的完全四点形模型，但这一次我们延长 $FG$，交椭圆于两点 $H,I$。

调和点列

根据上文的 La Hire 定理，$G,F$ 是一组共轭点，关于椭圆调和共轭。调和共轭的定义如下：

定义

关于圆锥曲线 $C$，连接 $P,Q$ 两点交 $C$ 于 $A,B$ 两点，若 $(A,B;P,Q)=-1$，则称 $P,Q$ 关于 $C$ 调和共轭。此时 $P,Q$ 称为（内/外）分点，$A,B$ 称为基点。

推论

关于圆锥曲线 $C$，若 $P,Q$ 互在对方极线上，连接 $PQ$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，则有 $(A,B;P,Q)=-1$。

以上图为例，则有 $(H,I;F,G)=-1$，也就是说 $H,I,F,G$ 构成调和点列。

这便是极线的一条重要性质。利用这一点，我们便可解决不少和线段长度比有关的问题。

调和线束&射影不变性

如果有调和点列 $(A,B;P,Q)=-1$，过其所在直线外一点 $O$ 作四条直线 $OA,OB,OP,OQ$，则这四条直线称为“调和线束”。直线的交比也是有意义的，我们也可以说 $(OA,OB;OP,OQ)=-1$。

对于一组调和线束，我们用不同的直线截取，得到的点都是调和点列。这是因为线束的射影不变性（交比不变）。所以我们一旦找到了一组调和点列，就可以构造出其他组。

下面就来介绍调和线束的几个重要定理。

定理

等角模型

对调和线束 $(OA,OB;OP,OQ)=-1$，如果 $OP\perp OQ$，则 $OQ$，$OP$ 分别为 $\angle AOB$ 的内、外角平分线。

定理

中点模型

对调和线束 $(OA,OB;OP_\infty;OQ)=-1$，满足 $Q$ 为 $AB$ 中点。

定理

斜率等差模型

如图，有调和线束 $(OA,OB;OP,OQ)=-1$，分别记其斜率为 $k_1$ ~ $k_4$。

若 $k_4=0$（如下图），则有 $\dfrac1{k_1}+\dfrac1{k_2}=\dfrac2{k_3}$。

若 $k_3=\infty$（如下图），则有 $k_1+k_2=2k_4$。

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Footnotes

1. 射影几何中，通常用 $L_\infty$ 来表示无穷远直线，而不是无穷远点。考虑到本文是在高中语境下写的，我们还是用小写字母表示直线，大写字母表示点。 ↩

2. 严格来说，这是一种球心投影 / 日晷投影的逆。“半球投影”这个词是我造出来的，为了强调我们只投影到下半球面。 ↩

3. 严格来说，这样的变换叫作中心投影，而任何射影变换都可以看作有限次中心投影的复合。 ↩

4. 完全四点形 $\not=$ 完全四边形。 ↩ ↩²

5. 严格来说，La Hire 定理只能指出共轭关系，而非调和共轭。但我认为在这里没必要分清这两个概念，加重认知负担。 ↩