音程与调性

这是乐理的两个核心概念。稍后介绍的调式理论、和弦理论等都以此为基础。

音程

音程衡量两个音之间的频率差异。比如 $f_1,f_2$ 两个频率的声音，若 $f_1:f_2=2:1$，则称 $f_1$ 在 $f_2$ 上方纯八度；若 $f1:f2=3:2$，则称 $f_1$ 在 $f_2$ 上方纯五度。八度和五度是音乐中最重要的两个音程：相隔八度的音有“相同”的感觉；相隔五度的音听起来很和谐。

频率之比小于 $16:15$ 的音，他们之间的音程称为半音（大概如此）。

下面是常用的音程和对应的中文名称。

音程	小二度	大二度	小三度	大三度	纯四度	增四 / 减五度	纯五度	增五 / 小六度	大六度	小七度	大七度	纯八度
半音数	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12

大音程的听感往往比小音程更和谐。小音程、增减音程的听感往往比较紧张。你可能会发现有的音程有不同的称呼——这需要依上下文而定。音程的名字含有对其功能或听感的暗示，而不仅仅是一个“名字”。在稍后的乐理介绍中，你可能会加深这个印象。

假设有两个音的组合 $(a,b)$，假设频率 $a<b$，现在把 $b$ 降低八度得到新的组合 $(b',a)$，这样的操作叫做转位。当然，在上例中，把 $a$ 升高八度也算转位。除了上文提到的纯五度和纯八度，纯四度也是一个重要的音程，它是纯五度的转位。

调性

一首音乐中的音，其频率都有一定规律。在古今中外绝大多数音乐中，都可以找到一个集合 $S$，使得音乐中的任意一个频率为 $f$ 的音符，都有 $2^nf\in S (n\in \mathbb{Z})$ 成立。记满足此条件的最小的集合为 $S_0$，则我们把 $S_0$ 中的音取出，按频率高低排序，就得到了这首歌的调性（如 C 大调）。这些音符之间往往有一定的组织规律，这种规律称为调律（如十二平均律）。

现代最流行的调律为十二平均律，其半音频率之比为 $\sqrt[12]{2}:1$，即把八度十二等分，由此得名。古典作品中还有五度相生律（毕达哥拉斯律）、中庸平均律、纯律等，此处不介绍。

以下是 12 个常用的音名，按十二平均律的习惯排列：

	$\text{C}\sharp/\text{D}\flat$		$\text{D}\sharp/\text{E}\flat$			$\text{F}\sharp/\text{G}\flat$		$\text{G}\sharp/\text{A}\flat$		$\text{A}\sharp/\text{B}\flat$
$\text{C}$		$\text{D}$		$\text{E}$	$\text{F}$		$\text{G}$		$\text{A}$		$\text{B}$

其中 $\sharp$ 是升号（sharp），$\flat$ 是降号（flat）。上面