椭圆

第一定义：平面上有两点 $F_1,F_2$，动点 $P$ 满足 $|PF_1|+|PF_2|=2a$，则 $P$ 的轨迹为一个椭圆。

$C:\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{9}=1.$

上图中，

• $2a=A_1A_2$，称为长轴；$a$ 称为半长轴。
• $2b=B_1B_2$，称为短轴；$b$ 称为半短轴。
• $2c=F_1F_2$，称为焦距；$c$ 称为半焦距。

椭圆的离心率 $e=\cfrac{c}{a}$，满足 $0<c<1$。$e$ 越小椭圆越圆，$e$ 越大椭圆越扁。

标准方程

焦点在 $x$ 轴上的椭圆，其标准方程为：

$$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\space(a>b>0).$$

如果焦点在 $y$ 轴上，交换上式中的 $x,y$ 即可。口诀：$x^2,y^2$ 谁系数小，焦点就在哪轴上。

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如果不能确定椭圆在哪轴上，可以用以下方程来设椭圆：

$$mx^2+ny^2=1(m,n>0,m\not=n).$$

准线与第二定义

第二定义：平面内有定点 $F$、定直线 $l$，动点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $d$，满足 $\cfrac{|PF|}{d}=e$，则 $P$ 的轨迹为一个椭圆。$l$ 就叫准线。

$l_1:x=-\cfrac{16}{\sqrt{7}},\space l_2:x=\cfrac{16}{\sqrt{7}}.$

实际上，椭圆一共有两条准线，即上图中 $l_1$（左准线）、$l_2$（右准线）。注意一下 $l_1$ 对应 $F_1$，$l_2$ 对应 $F_2$。

准线的方程：$x=\pm\cfrac{a^2}{c}.$